Mostre que F=12 y^2 i+x y j é gradiente.

Passo 1

O exercício dá o campo vetorial F(x,y) = tfrac12y^2i + xyj e pede para mostrar que ele é um campo gradiente, ou seja, que existe uma função potencial f(x,y) tal que nabla f = F. Para resolver, vamos usar o teste de campo conservativo e depois encontrar explicitamente f.

Passo 2

O primeiro passo é verificar a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas, que garante que o campo é conservativo em um domínio simplesmente conexo (aqui todo R^2). Sejam P(x,y)=tfrac12y^2 e Q(x,y)=xy. Calculamos:
partial Ppartial y = y
partial Qpartial x = y
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que existe uma função potencial f(x,y), vamos encontrá-la integrando P em relação a x:
f(x,y) = integral P(x,y),dx = integral 12y^2,dx = 12y^2,x + h(y)
Aqui h(y) é uma função arbitrária de y que aparece porque a derivada de h(y) em relação a x é zero.

Passo 4

Para determinar h(y), diferenciamos f(x,y) em relação a y e igualamos a Q(x,y):
partial fpartial y = x,y + h'(y)
Queremos que isso seja igual a Q(x,y)=xy, logo
x,y + h'(y) = x,y implies h'(y)=0
Isso mostra que h(y) é constante, que podemos ajustar para zero.

Passo 5

Portanto, uma função potencial é
f(x,y)=x,y^22 + C,
e de fato temos
nabla f = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) = l(tfrac12y^2,,xyr) = F(x,y)

Resposta

Uma função potencial é f(x,y)=x,y^22+C, logo F=nabla f e o campo é gradiente.

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