Mostre que
é gradiente.
Passo 1
O exercício dá o campo vetorial
e pede para mostrar que ele é um campo gradiente, ou seja, que existe uma função potencial
tal que
. Para resolver, vamos usar o teste de campo conservativo e depois encontrar explicitamente
.
Passo 2
O primeiro passo é verificar a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas, que garante que o campo é conservativo em um domínio simplesmente conexo (aqui todo
). Sejam
e
. Calculamos:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que existe uma função potencial
, vamos encontrá-la integrando
em relação a
:
Aqui
é uma função arbitrária de
que aparece porque a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 4
Para determinar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Queremos que isso seja igual a
, logo
Isso mostra que
é constante, que podemos ajustar para zero.
Passo 5
Portanto, uma função potencial é
e de fato temos
Resposta
Uma função potencial é
, logo
e o campo é gradiente.