As coordenadas parabólicas (q1, q2, q3)=(u, v, theta) são definidas por
x=u v cos theta, y=u v sin theta, z=12(u^2-v^2)
onde u in[0, infty), v in[0, infty), theta in[0,2 pi).
Calcule nabla cdot F em coordenadas parabólicas para F=cos theta eu.

Passo 1

O enunciado define as coordenadas parabólicas (u,v,theta) por
x = u,vcostheta, y = u,vsintheta, z = tfrac12l(u^2 - v^2r),
e pede nablacdotF para F = costheta,eu.
Conteúdo: cálculo de divergência em coordenadas ortogonais. Vamos precisar dos fatores de escala hu,hv,htheta e da fórmula de divergência nesse sistema.

Passo 2

Chamando r(u,v,theta) = (x,y,z), calculemos
partialrpartial u = (vcostheta,;vsintheta,;u), partialrpartial v = (ucostheta,;usintheta,;-v),
partialrpartial theta = (-u,vsintheta,;u,vcostheta,;0)
As normas dão os fatores de escala:
hu = l|partialr/partial ur| = raizu^2+v^2, hv = raizu^2+v^2, htheta = u,v

Passo 3

Em um sistema ortogonal (q1,q2,q3) com fatores h1,h2,h3,
nablacdotF =1h1h2h3l[ partialpartial q1(h2h3F1) +partialpartial q2(h3h1F2) +partialpartial q3(h1h2F3) r]
Aqui q1=u,;q2=v,;q3=theta e F=(Fu,0,0) com Fu=costheta.

Passo 4

Só o primeiro termo sobrevive. Escrevendo hvhtheta = u,vraizu^2+v^2,
nablacdotF =1hu,hv,htheta,partialpartial ul(hvhtheta,Fur) =1(u^2+v^2),u,v,partialpartial ul(u,vraizu^2+v^2,costhetar)
Como costheta independe de u,
partialpartial ul(u,vraizu^2+v^2r) = vraizu^2+v^2 + u,v;uraizu^2+v^2 = v;2u^2+v^2raizu^2+v^2

Passo 5

Substituindo no numerador e dividindo por (u^2+v^2),u,v, obtemos
nablacdotF = costheta;v,2u^2+v^2raizu^2+v^2 u,v,(u^2+v^2) = (2u^2+v^2)costhetau,(u^2+v^2)^3/2

Resposta

nablacdotF = (2u^2+v^2),costhetau,(u^2+v^2)^3/2

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