Calcule:
integral tg^2 x+cossec^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral (tan^2 x + csc^2 x) dx. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas ao quadrado e suas integrais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas básicas e das fórmulas de integração para funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que tan^2 x pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:
tan^2 x = sec^2 x - 1
Então, substituindo isso na integral, temos:
integral (sec^2 x - 1 + csc^2 x) dx

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em partes mais simples:
integral sec^2 x , dx - integral 1 , dx + integral csc^2 x , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. A integral de sec^2 x em relação a x é tan x, pois sabemos que a derivada de tan x é sec^2 x.
integral sec^2 x , dx = tan x
  1. A integral de 1 em relação a x é simplesmente x, já que a derivada de x é 1.
integral 1 , dx = x
  1. A integral de csc^2 x em relação a x é -cot x, porque a derivada de cot x é -csc^2 x.
integral csc^2 x , dx = -cot x

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as integrais que calculamos:
tan x - x - cot x + C
Onde C é a constante de integração, que aparece ao integrar indefinidamente.

Resposta

A integral de tan^2 x + csc^2 x em relação a x é:
tan x - x - cot x + C

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