Calcule:
integral(-cos (x^2) cdot 2 x) d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral de -2x cdot cos(x^2) em relação a x. Pra resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é bem legal quando a gente identifica uma parte da função que podemos chamar de u para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da expressão dentro da integral pode ser substituída por u. Aqui, temos x^2 dentro do cosseno. Então, vamos definir:
u = x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir na integral. Calculando a derivada:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx

Passo 4

Observe que na nossa integral original temos exatamente 2x , dx, que corresponde a du. Então, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral -cos(x^2) cdot 2x , dx = integral -cos(u) , du

Passo 5

Agora, a integral está mais simples: integral -cos(u) , du. Vamos resolver essa integral básica. A antiderivada de cos(u) é sin(u), então:
integral -cos(u) , du = -sin(u) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por último, vamos voltar à variável original x, substituindo u por x^2:
-sin(u) + C = -sin(x^2) + C

Resposta

-sin(x^2) + C

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