Escreva todas as antiderivadas da função f(x)=x^3(5+2 x^3)^2+x^2-x-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar todas as antiderivadas da função f(x) = x^3(5+2 x^3)^2 + x^2 - x - 1 . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração de funções polinomiais e uso de substituição. Vamos precisar aplicar técnicas de integração para cada parte dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a integração:
f(x) = x^3(5 + 2x^3)^2 + (x^2 - x - 1)
Isso significa que iremos integrar x^3(5 + 2x^3)^2 e x^2 - x - 1 separadamente.

Passo 3

Começando com a primeira parte: integral x^3(5 + 2x^3)^2 , dx . Aqui, vamos usar a substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 5 + 2x^3
Então, derivando u em relação a x :
dudx = 6x^2 Rightarrow du = 6x^2 , dx
No entanto, na nossa integral temos x^3 , dx . Para ajustar, podemos reescrever x^3 como x cdot x^2 e então relacionar com du :
x^3 , dx = x cdot x^2 , dx = x6 , du
Mas isso complica um pouco, então vamos tentar uma abordagem diferente. Vamos expandir (5 + 2x^3)^2 :
(5 + 2x^3)^2 = 25 + 20x^3 + 4x^6
Agora, multiplicamos por x^3 :
x^3(5 + 2x^3)^2 = 25x^3 + 20x^6 + 4x^9
Agora, a integral fica mais simples:
integral (25x^3 + 20x^6 + 4x^9) , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 25x^3 , dx = 25 cdot x^44 = 254x^4
integral 20x^6 , dx = 20 cdot x^77 = 207x^7
integral 4x^9 , dx = 4 cdot x^1010 = 410x^10 = 25x^10
Então, a integral da primeira parte é:
254x^4 + 207x^7 + 25x^10

Passo 5

Agora, vamos integrar a segunda parte da função: integral (x^2 - x - 1) , dx .
Integrando termo a termo:
integral x^2 , dx = x^33
integral (-x) , dx = -x^22
integral (-1) , dx = -x
Então, a integral da segunda parte é:
x^33 - x^22 - x

Passo 6

Agora, juntamos as integrais das duas partes e adicionamos a constante de integração C :
F(x) = 254x^4 + 207x^7 + 25x^10 + x^33 - x^22 - x + C

Resposta

Todas as antiderivadas de f(x) são dadas por:
F(x) = 254x^4 + 207x^7 + 25x^10 + x^33 - x^22 - x + C
Onde C é a constante de integração.

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