Escreva todas as antiderivadas da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar todas as antiderivadas da função
. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração de funções polinomiais e uso de substituição. Vamos precisar aplicar técnicas de integração para cada parte dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a integração:
Isso significa que iremos integrar
e
separadamente.
Passo 3
Começando com a primeira parte:
. Aqui, vamos usar a substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, derivando
em relação a
:
No entanto, na nossa integral temos
. Para ajustar, podemos reescrever
como
e então relacionar com
:
Mas isso complica um pouco, então vamos tentar uma abordagem diferente. Vamos expandir
:
Agora, multiplicamos por
:
Agora, a integral fica mais simples:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral da primeira parte é:
Passo 5
Agora, vamos integrar a segunda parte da função:
.
Integrando termo a termo:
Então, a integral da segunda parte é:
Passo 6
Agora, juntamos as integrais das duas partes e adicionamos a constante de integração
:
Resposta
Todas as antiderivadas de
são dadas por:
Onde
é a constante de integração.