Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada ciurva, a reta tangente te inclinação igual a 4 x-3. Se a curva contém o ponto (4,1), ache a sua equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva qualquer que passa pelo ponto (4,1) e, em qualquer ponto dessa curva, a reta tangente tem inclinação igual a 4x - 3. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a equação dessa curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto qualquer (x, y) é dada pela derivada da função y em relação a x, representada como dydx. No nosso caso, a inclinação é 4x - 3. Então, podemos escrever:
dydx = 4x - 3

Passo 3

Agora, para encontrar a equação da curva, precisamos encontrar a função y que, ao derivarmos em relação a x, nos dá 4x - 3. Isso significa que precisamos integrar a expressão 4x - 3 em relação a x.

Passo 4

Vamos integrar 4x - 3:
y = integral (4x - 3) , dx
Integrando termo a termo:
y = 4 integral x , dx - 3 integral 1 , dx
Isso resulta em:
y = 4 ( x^22 ) - 3x + C
Simplificando:
y = 2x^2 - 3x + C
Aqui, C é a constante de integração que vamos determinar usando o ponto dado na questão.

Passo 5

Sabemos que a curva passa pelo ponto (4,1). Vamos usar essas coordenadas para encontrar o valor de C.

Passo 6

Substituindo x = 4 e y = 1 na equação que encontramos:
1 = 2(4)^2 - 3(4) + C
Calculando:
1 = 2(16) - 12 + C
1 = 32 - 12 + C
1 = 20 + C
Resolvendo para C:
C = 1 - 20
C = -19

Resposta

A equação da curva é:
y = 2x^2 - 3x - 19

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