Em qualquer ponto
de uma determinada ciurva, a reta tangente te inclinação igual a
. Se a curva contém o ponto
, ache a sua equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva qualquer que passa pelo ponto
e, em qualquer ponto dessa curva, a reta tangente tem inclinação igual a
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a equação dessa curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto qualquer
é dada pela derivada da função
em relação a
, representada como
. No nosso caso, a inclinação é
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, para encontrar a equação da curva, precisamos encontrar a função
que, ao derivarmos em relação a
, nos dá
. Isso significa que precisamos integrar a expressão
em relação a
.
Passo 4
Vamos integrar
:
Integrando termo a termo:
Isso resulta em:
Simplificando:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando o ponto dado na questão.
Passo 5
Sabemos que a curva passa pelo ponto
. Vamos usar essas coordenadas para encontrar o valor de
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação que encontramos:
Calculando:
Resolvendo para
:
Resposta
A equação da curva é: