Uma partícula desloca-se ao longo de uma reta sendo que sua velocidades no instante t é v(t)=t^2-t-6, em metros por segundo. Encontre o deslocamento da partícula após 6 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move numa reta com a velocidade dada por v(t) = t^2 - t - 6 metros por segundo. A questão quer saber qual foi o deslocamento dessa partícula depois de 6 segundos. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente de integração, porque o deslocamento é a área sob a curva da velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o deslocamento é basicamente a distância total que a partícula percorreu em uma certa direção durante um intervalo de tempo. Matemática mente, isso é calculado integrando a função da velocidade em relação ao tempo nesse intervalo.

Passo 3

Então, nosso objetivo é calcular a integral de v(t) = t^2 - t - 6 de t = 0 até t = 6 segundos. A fórmula para isso é:
Deslocamento = integral0^6 (t^2 - t - 6) , dt

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral passo a passo. Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. A integral de t^2 em relação a t é t^33 .
  2. A integral de -t é -t^22 .
  3. A integral de -6 é -6t .
Então, juntando tudo:
integral (t^2 - t - 6) , dt = t^33 - t^22 - 6t + C
Como estamos fazendo uma integral definida de 0 a 6, o C (constante de integração) não precisa ser considerado.

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da integral nos limites de 0 a 6:
[ t^33 - t^22 - 6t ]0^6 = ( 6^33 - 6^22 - 6 times 6 ) - ( 0^33 - 0^22 - 6 times 0 )
Simplificando os cálculos:
= ( 2163 - 362 - 36 ) - (0 - 0 - 0)
= (72 - 18 - 36) - 0
= 18 , metros

Resposta

O deslocamento da partícula após 6 segundos é de 18 metros.

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