Calcule:
lim x 1 2^x-1x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular lim x 1 2^x-1x^2-1. Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre limites que resultam em uma forma indeterminada, como 0/0, e como usar a Regra de L’Hôpital para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de 1.
Para o numerador:
2^1 - 1 = 2 - 1 = 1
Para o denominador:
1^2 - 1 = 1 - 1 = 0
Então, na verdade, quando x to 1, o numerador vai para 1 e o denominador vai para 0. Isso não é uma forma indeterminada, mas sim uma forma de 10, que tende ao infinito. No entanto, precisamos ter certeza do comportamento do limite pela direita e pela esquerda.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de 2^x - 1x^2 - 1 quando x se aproxima de 1 por valores maiores que 1 e menores que 1.
Para x um pouco maior que 1:
  • 2^x > 2^1 = 2, então 2^x - 1 > 1
  • x^2 - 1 > 0
Portanto, o quociente tende a positivopositivo, o que dá um valor positivo muito grande, ou seja, +infty.
Para x um pouco menor que 1:
  • 2^x < 2^1 = 2, então 2^x - 1 < 1
  • x^2 - 1 < 0
Nesse caso, o quociente tende a positivonegativo, resultando em um valor negativo muito grande, ou seja, -infty.

Passo 4

Como os limites pela direita e pela esquerda resultam em valores diferentes ( +infty e -infty), o limite geral não existe. Portanto, não há um valor finito para esse limite.

Resposta

O limite lim x 1 2^x-1x^2-1 não existe.

Exercícios relacionados