Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
Esse problema envolve limites no infinito e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como simplificar frações algébricas quando $ x $ cresce muito e também lembrar das propriedades das funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar separadamente cada fração dentro das funções trigonométricas.
Para a parte do cosseno:
E para a parte do seno:
Quando $ x $ tende para o infinito, queremos simplificar essas frações observando os termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 3
Começando com $ A $:
Isso porque, para valores muito grandes de $ x $, os termos de menor grau (como
,
, e
) se tornam insignificantes.
Passo 4
Agora, para $ B $:
Mais uma vez, descartamos os termos de menor grau, já que eles não afetam o comportamento quando $ x $ é muito grande.
Passo 5
Substituindo de volta nas funções trigonométricas:
- $ \cos(A) \approx \cos(\pi x) $
- $ \sin(B) \approx \sin(\pi) $
Sabemos que $ \sin(\pi) = 0 $. Além disso, $ \cos(\pi x) $ oscila entre
e
, mas isso não importa aqui porque está sendo multiplicado por
.