Calcule:
lim x infty cos (pi x^4-7x^3-2 x+1) cdot sen(pi x^4-7x^4+3 x^3-x+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
lim x infty cos (pi x^4-7x^3-2 x+1) cdot sin(pi x^4-7x^4+3 x^3-x+1)
Esse problema envolve limites no infinito e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como simplificar frações algébricas quando $ x $ cresce muito e também lembrar das propriedades das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar separadamente cada fração dentro das funções trigonométricas.
Para a parte do cosseno:
A = pi x^4 - 7x^3 - 2x + 1
E para a parte do seno:
B = pi x^4 - 7x^4 + 3x^3 - x + 1
Quando $ x $ tende para o infinito, queremos simplificar essas frações observando os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 3

Começando com $ A $:
A
Isso porque, para valores muito grandes de $ x $, os termos de menor grau (como A = pi x^4 - 7x^3 - 2x + 1 approx pi x^4x^3 = pi x , x , e -7) se tornam insignificantes.

Passo 4

Agora, para $ B $:
B
Mais uma vez, descartamos os termos de menor grau, já que eles não afetam o comportamento quando $ x $ é muito grande.

Passo 5

Substituindo de volta nas funções trigonométricas:
  • $ \cos(A) \approx \cos(\pi x) $
  • $ \sin(B) \approx \sin(\pi) $
Sabemos que $ \sin(\pi) = 0 $. Além disso, $ \cos(\pi x) $ oscila entre cos(A) approx cos(pi x) e sin(B) approx sin(pi) , mas isso não importa aqui porque está sendo multiplicado por sin(pi) = 0 .

Resposta

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