Considere a superfície dada implicitamente por
Quais os pontos nos quais as derivadas parciais calculadas no item anterior não estão definidas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá sendo pedido aqui! A gente tem uma superfície definida pela equação
. O conteúdo que vamos usar é o de derivadas parciais e diferenciação implícita. Queremos descobrir em quais pontos as derivadas parciais dessa superfície não estão definidas. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e ver onde elas não existem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que facilite a aplicação da diferenciação implícita. Vamos trazer tudo para o lado esquerdo:
Chamando essa expressão de
, temos:
Passo 3
Agora, para achar as derivadas parciais, usamos a diferenciação implícita. A gente quer, por exemplo, encontrar
e
.
A fórmula geral para a derivada parcial de
em relação a
é:
E para
:
Onde
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Passo 5
As derivadas parciais
e
estão definidas quando o denominador
não é zero. Então, queremos saber onde
:
Passo 6
Para encontrar os pontos onde as derivadas parciais não estão definidas, precisamos que além de
, a equação da superfície também seja satisfeita:
Substituindo
na equação da superfície:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação
.
Podemos fatorar:
Isso leva a:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo que
):
Para que
seja real e não negativo, o denominador deve ser negativo:
Passo 8
Portanto, as soluções ocorrem quando
e
. Selecionando valores específicos de
, podemos encontrar os correspondentes
e
.
Por exemplo, se
:
E
Passo 9
Assim, um conjunto de pontos onde as derivadas parciais não estão definidas é:
De maneira geral, para qualquer
com
, teremos pontos similares.
Resposta
Os pontos nos quais as derivadas parciais da superfície
não estão definidas são aqueles onde
e satisfazem
, com
. Por exemplo: