Considere a superfície dada implicitamente por
x^2+2 y^2+2 z^2=-4 x y z
Quais os pontos nos quais as derivadas parciais calculadas no item anterior não estão definidas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá sendo pedido aqui! A gente tem uma superfície definida pela equação x^2 + 2y^2 + 2z^2 = -4xyz . O conteúdo que vamos usar é o de derivadas parciais e diferenciação implícita. Queremos descobrir em quais pontos as derivadas parciais dessa superfície não estão definidas. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e ver onde elas não existem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que facilite a aplicação da diferenciação implícita. Vamos trazer tudo para o lado esquerdo:
x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xyz = 0
Chamando essa expressão de F(x, y, z) , temos:
F(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xyz = 0

Passo 3

Agora, para achar as derivadas parciais, usamos a diferenciação implícita. A gente quer, por exemplo, encontrar partial zpartial x e partial zpartial y .
A fórmula geral para a derivada parcial de z em relação a x é:
partial zpartial x = -FxFz
E para partial zpartial y :
partial zpartial y = -FyFz
Onde Fx , Fy e Fz são as derivadas parciais de F em relação a x , y e z , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas parciais:
Fx = partialpartial x(x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xyz) = 2x + 4yz
Fy = partialpartial y(x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xyz) = 4y + 4xz
Fz = partialpartial z(x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xyz) = 4z + 4xy

Passo 5

As derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y estão definidas quando o denominador Fz não é zero. Então, queremos saber onde Fz = 0 :
4z + 4xy = 0 implies z + xy = 0 implies z = -xy

Passo 6

Para encontrar os pontos onde as derivadas parciais não estão definidas, precisamos que além de Fz = 0 , a equação da superfície também seja satisfeita:
x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xyz = 0
Substituindo z = -xy na equação da superfície:
x^2 + 2y^2 + 2(-xy)^2 + 4x y (-xy) = 0
Simplificando:
x^2 + 2y^2 + 2x^2y^2 - 4x^2y^2 = 0
x^2 + 2y^2 - 2x^2y^2 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação x^2 + 2y^2 - 2x^2y^2 = 0 .
Podemos fatorar:
x^2(1 - 2y^2) + 2y^2 = 0
Isso leva a:
x^2(1 - 2y^2) = -2y^2
Dividindo ambos os lados por 1 - 2y^2 (assumindo que y neq pm 1raiz2 ):
x^2 = -2y^21 - 2y^2
Para que x^2 seja real e não negativo, o denominador deve ser negativo:
1 - 2y^2 < 0 implies y^2 > 12 implies |y| > raiz22

Passo 8

Portanto, as soluções ocorrem quando |y| > raiz22 e x^2 = -2y^21 - 2y^2 . Selecionando valores específicos de y , podemos encontrar os correspondentes x e z .
Por exemplo, se y = 1 :
x^2 = -2(1)^21 - 2(1)^2 = -21 - 2 = -2-1 = 2 implies x = pm raiz2
E z = -xy = mp raiz2 times 1 = mp raiz2

Passo 9

Assim, um conjunto de pontos onde as derivadas parciais não estão definidas é:
(raiz2, 1, -raiz2) e (-raiz2, 1, raiz2)
De maneira geral, para qualquer y com |y| > raiz22 , teremos pontos similares.

Resposta

Os pontos nos quais as derivadas parciais da superfície x^2 + 2y^2 + 2z^2 = -4xyz não estão definidas são aqueles onde |y| > raiz22 e satisfazem x = pm raiz-2y^21 - 2y^2 , com z = -xy . Por exemplo:
(raiz2, 1, -raiz2) e (-raiz2, 1, raiz2)

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