Calcule o gradiente de f.
f(x, y, z)=z arctan xy

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=zarctanxy
O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z. Para isso vamos usar a regra do produto (entre z e arctan(x/y)) e a regra da cadeia (para arctan(u) com u=x/y).

Passo 2

Para partial fpartial x tratamos z como constante e derivamos arctan(u) em que u=x/y.
Temos
dudx=1y, dduarctan(u)=11+u^2
Logo,
partial fpartial x =zcdot1/y1+(x/y)^2 =z/yx^2+y^2y^2 =z,yx^2+y^2

Passo 3

Para partial fpartial y mantemos z constante e derivamos arctan(u) em que u=x/y.
Temos
dudy=-xy^2, dduarctan(u)=11+u^2
Logo,
partial fpartial y =zcdot-,x/y^21+(x/y)^2 =-z,xx^2+y^2

Passo 4

Para partial fpartial z derivamos em relação a z, tratando arctan(x/y) como constante. Assim,
partial fpartial z =arctanxy

Resposta

nabla f(x,y,z) =l(z,yx^2+y^2,,-z,xx^2+y^2,,arctanxyr)

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