Calcule integral duplaD x^2 d A para D=(x, y) in R^2 ; x <= y <= x raiz3 e 1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de x^2 sobre a região D , que é definida por x <= y <= x raiz3 e 1 <= x^2 + y^2 <= 4 . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais em coordenadas polares, já que a região D está entre dois círculos e entre duas retas. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D . As inequações 1 <= x^2 + y^2 <= 4 representam uma região entre dois círculos concêntricos com raios 1 e 2. As inequações x <= y <= x raiz3 correspondem a duas retas: y = x e y = x raiz3 .

Passo 3

Em coordenadas polares, temos que x = r costheta e y = r sintheta . As retas y = x e y = x raiz3 se transformam em ângulos específicos:
  • y = x corresponde a theta = pi4
  • y = x raiz3 corresponde a theta = pi3
Então, nosso intervalo para theta vai de pi4 a pi3 , e para r de 1 a 2.

Passo 4

Agora, vamos transformar a integral dupla para coordenadas polares. A função que vamos integrar é x^2 , que em coordenadas polares fica:
x^2 = (r costheta)^2 = r^2 cos^2theta
Lembrando que em coordenadas polares o elemento de área dA é r , dr , dtheta , nossa integral fica:
integral duplaD x^2 , dA = integralpi4^pi3 integral1^2 r^2 cos^2theta cdot r , dr , dtheta = integralpi4^pi3 integral1^2 r^3 cos^2theta , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a r primeiro:
integral1^2 r^3 , dr = [ r^44 ]1^2 = 164 - 14 = 154
Então, a integral fica:
154 integralpi4^pi3 cos^2theta , dtheta

Passo 6

Agora, precisamos calcular integral cos^2theta , dtheta . Sabemos que:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Então,
integral cos^2theta , dtheta = integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
154 [ ( theta2 + sin(2theta)4 ) g|pi4^pi3 ]
Calculando:
Para theta = pi3 :
pi6 + sin(2pi3)4 = pi6 + raiz3/24 = pi6 + raiz38
Para theta = pi4 :
pi8 + sin(pi2)4 = pi8 + 14
A diferença é:
( pi6 + raiz38 ) - ( pi8 + 14 ) = pi24 + raiz38 - 14

Passo 8

Multiplicando pelo fator 154 :
154 ( pi24 + raiz38 - 14 ) = 15pi96 + 15raiz332 - 1516
Simplificando os denominadores:
5pi32 + 15raiz332 - 3032 = 5pi + 15raiz3 - 3032

Resposta

A integral dupla vale dfrac5,pi + 15,raiz3 - 3032 .

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