Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por e . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais em coordenadas polares, já que a região está entre dois círculos e entre duas retas. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . As inequações representam uma região entre dois círculos concêntricos com raios 1 e 2. As inequações correspondem a duas retas: e .
Passo 3
Em coordenadas polares, temos que e . As retas e se transformam em ângulos específicos:
corresponde a
corresponde a
Então, nosso intervalo para vai de a , e para de 1 a 2.
Passo 4
Agora, vamos transformar a integral dupla para coordenadas polares. A função que vamos integrar é , que em coordenadas polares fica:
Lembrando que em coordenadas polares o elemento de área é , nossa integral fica: