Calcule as integrais definidas usando o T.F.C.
integralpi / 2^2 e x sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integralpi / 2^2 e x sin x , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, a gente escolhe quais partes da nossa função serão u e dv. No nosso caso, vamos deixar:
u = x e dv = sin x , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v. Diferenciando u = x, temos:
du = dx
Integrando dv = sin x , dx, obtemos:
v = -cos x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x sin x , dx = u , v - integral v , du = -x cos x - integral (-cos x) , dx
Simplificando:
-x cos x + integral cos x , dx
A integral de cos x é sin x, então:
-x cos x + sin x + C

Passo 5

Agora, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de pi/2 a 2e:
[ -x cos x + sin x ]pi/2^2 e = ( -2 e cos(2 e) + sin(2 e) ) - ( -pi2 cos(pi2) + sin(pi2) )
Sabemos que cos(pi2) = 0 e sin(pi2) = 1, então:
-2 e cos(2 e) + sin(2 e) - (0 + 1) = -2 e cos(2 e) + sin(2 e) - 1

Resposta

A integral definida integralpi / 2^2 e x sin x , dx é igual a:
-2 e cos(2 e) + sin(2 e) - 1

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