Mostre que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função \r
é contínua em é contínua em e verificar o ponto crítico .

Passo 2

Para x<1 e em x=1 a definição é f(x)=1 - x^2. Como polinômios são contínuos em R, decorre que xmapsto1 - x^2 é contínua em (-infty,1].

Passo 3

Para x>1, temos f(x)=ln x. Sabemos que a função ln x é contínua em (0,infty) e, em particular, em (1,infty).

Passo 4

Resta verificar a continuidade em x=1. Calculamos os limites laterais:\r
limxto1^-f(x)=limxto1^-(1 - x^2)=1-1^2=0,
limxto1^+f(x)=limxto1^+ln x=ln1=0
Como f(1)=1-1^2=0, concluímos que\r
limxto1f(x)=0=f(1), \r
ou seja, f é contínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua em (-infty,infty).

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