Calcule a área do triângulo PQR onde P=(1,0,1), Q=(-2,1,3), R=(4,2,5).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo cujos vértices são
P=(1,0,1), Q=(-2,1,3) e R=(4,2,5).
O conteúdo é geometria vetorial em R^3 e vamos usar produto vetorial para obter a área.

Passo 2

Definimos os vetores PQ e PR a partir das coordenadas de P, Q e R:
PQ = Q - P = (-2-1,;1-0,;3-1) = (-3,,1,,2),
PR = R - P = (4-1,;2-0,;5-1) = (3,,2,,4)

Passo 3

Sabemos que a área do paralelogramo gerado por PQ e PR é |PQtimesPR|, e a do triângulo é metade disso:
Áreatriang<= PQR = tfrac12,|PQtimesPR| Á
Primeiro calculamos o produto vetorial:
PQtimesPR = i & j & k -3 & 1 & 2 3 & 2 & 4 = (1cdot4 - 2cdot2),i -(-3cdot4 - 2cdot3),j +(-3cdot2 - 1cdot3),k = (0,,18,,-9)

Passo 4

Agora calculamos a norma desse vetor:
|PQtimesPR| = raiz0^2 + 18^2 + (-9)^2 = raiz324 + 81 = raiz405 = 9raiz5

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é metade dessa norma:
Áreatriang<= PQR = tfrac12 times 9raiz5 = 9raiz52 Á

Resposta

9raiz52

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