Calcule
lim x 1 1-x+ln x1+cos (pi x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular
lim x 1 1 - x + ln x1 + cos (pi x)
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como 0/0 ou ∞/∞.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de 1.
  • Numerador: 1 - x + ln x
    • Quando x = 1 : 1 - 1 + ln 1 = 0 + 0 = 0
  • Denominador: 1 + cos(pi x)
    • Quando x = 1 : 1 + cos(pi) = 1 + (-1) = 0
Então, temos uma forma indeterminada 00 . É aí que a Regra de L’Hôpital entra em ação!

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty , então podemos calcular o limite das derivadas:
limx to a f'(x)g'(x)
Vamos aplicar isso no nosso caso.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador f(x) = 1 - x + ln x :
f'(x) = -1 + 1x
  • Derivada do denominador g(x) = 1 + cos(pi x) :
g'(x) = 0 - pi sin(pi x) = -pi sin(pi x)
Agora, o limite fica:
limx 1 -1 + 1x-pi sin(pi x)

Passo 5

Vamos substituir x = 1 nesse novo limite:
  • Numerador:
-1 + 11 = -1 + 1 = 0
  • Denominador:
-pi sin(pi cdot 1) = -pi cdot 0 = 0
Parece que continuamos com uma forma 00 ! Então, aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas novamente:
  • Derivada do novo numerador f'(x) = -1 + 1x :
f''(x) = 0 - 1x^2 = -1x^2
  • Derivada do novo denominador g'(x) = -pi sin(pi x) :
g''(x) = -pi cdot cos(pi x) cdot pi = -pi^2 cos(pi x)
Agora, o limite fica:
limx 1 -1x^2 -pi^2 cos(pi x)

Passo 7

Simplificando, os sinais negativos se cancelam:
limx 1 1x^2 pi^2 cos(pi x)
Agora, substituímos x = 1 :
  • Numerador:
11^2 = 1
  • Denominador:
pi^2 cos(pi cdot 1) = pi^2 cdot (-1) = -pi^2
Então, temos:
1 -pi^2 = -1pi^2

Resposta

O limite é -dfrac1pi^2.

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