Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como 0/0 ou ∞/∞.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 1.
-
Numerador:
- Quando
:
- Quando
-
Denominador:
- Quando
:
- Quando
Então, temos uma forma indeterminada
. É aí que a Regra de L’Hôpital entra em ação!
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos aplicar isso no nosso caso.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Agora, o limite fica:
Passo 5
Vamos substituir
nesse novo limite:
- Numerador:
- Denominador:
Parece que continuamos com uma forma
! Então, aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas novamente:
- Derivada do novo numerador
:
- Derivada do novo denominador
:
Agora, o limite fica:
Passo 7
Simplificando, os sinais negativos se cancelam:
Agora, substituímos
:
- Numerador:
- Denominador:
Então, temos:
Resposta
O limite é
.