Determine a equação da reta tangente à curva
, no ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente a derivação implícita. Vamos precisar encontrar a derivada
nesse ponto para determinar o coeficiente angular da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita à equação da curva. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
. A equação original é:
Derivando cada termo:
- Para
, usamos a regra do produto:
- Para
, também usamos a regra do produto:
- A derivada de 6 em relação a
é zero:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos isolar
na equação derivada. Vamos agrupar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Agora, resolvendo para
:
Passo 4
Vamos substituir o ponto
na expressão da derivada para encontrar o coeficiente angular da reta tangente.
Substituindo
e
:
Calculando o numerador e o denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos o coeficiente angular
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente é
.