Determine a equação da reta tangente à curva x y^3-y x^3=6, no ponto (1,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à curva x y^3 - y x^3 = 6 no ponto (1, 2). A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente a derivação implícita. Vamos precisar encontrar a derivada dydx nesse ponto para determinar o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita à equação da curva. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y é uma função de x. A equação original é:
x y^3 - y x^3 = 6
Derivando cada termo:
  • Para x y^3, usamos a regra do produto:
ddx(x y^3) = y^3 + x cdot 3y^2 dydx
  • Para -y x^3, também usamos a regra do produto:
ddx(-y x^3) = -x^3 dydx - y cdot 3x^2
  • A derivada de 6 em relação a x é zero:
ddx(6) = 0
Então, juntando tudo:
y^3 + 3x y^2 dydx - x^3 dydx - 3x^2 y = 0

Passo 3

Agora, vamos isolar dydx na equação derivada. Vamos agrupar os termos que contêm dydx :
3x y^2 dydx - x^3 dydx = -y^3 + 3x^2 y
Fatorando dydx :
dydx (3x y^2 - x^3) = -y^3 + 3x^2 y
Agora, resolvendo para dydx :
dydx = -y^3 + 3x^2 y3x y^2 - x^3

Passo 4

Vamos substituir o ponto (1, 2) na expressão da derivada para encontrar o coeficiente angular da reta tangente.
Substituindo x = 1 e y = 2:
dydx = - (2)^3 + 3(1)^2(2) 3(1)(2)^2 - (1)^3
Calculando o numerador e o denominador:
  • Numerador:
-8 + 6 = -2
  • Denominador:
12 - 1 = 11
Portanto:
dydx = -211

Passo 5

Agora que temos o coeficiente angular m = -211 e o ponto (1, 2), podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y1 = m (x - x1)
Substituindo os valores:
y - 2 = -211 (x - 1)

Resposta

A equação da reta tangente é y - 2 = -dfrac211 (x - 1) .

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