Determine a derivada y^prime, se y=(1+3 x)^5(2+5 x+x^2)^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para encontrar a derivada y' da função y = (1 + 3x)^5 (2 + 5x + x^2)^3 . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como essas regras funcionam e aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função y é um produto de duas funções: u(x) = (1 + 3x)^5 e v(x) = (2 + 5x + x^2)^3 . Para derivar y , usaremos a Regra do Produto, que diz que a derivada de y = u cdot v é y' = u' cdot v + u cdot v' .

Passo 3

Vamos começar calculando u'(x) . Como u(x) = (1 + 3x)^5 , aplicamos a Regra da Cadeia. A derivada de (f(x))^n é n cdot (f(x))^n-1 cdot f'(x) .
Então,
u'(x) = 5 cdot (1 + 3x)^4 cdot 3 = 15 cdot (1 + 3x)^4

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x) = (2 + 5x + x^2)^3 também usando a Regra da Cadeia.
Primeiro, identifiquemos f(x) = 2 + 5x + x^2 , então,
v'(x) = 3 cdot (2 + 5x + x^2)^2 cdot (5 + 2x)

Passo 5

Agora que temos u'(x) e v'(x) , aplicamos a Regra do Produto:
y' = u' cdot v + u cdot v'
Substituindo os valores que encontramos:
y' = 15 cdot (1 + 3x)^4 cdot (2 + 5x + x^2)^3 + (1 + 3x)^5 cdot 3 cdot (2 + 5x + x^2)^2 cdot (5 + 2x)

Passo 6

Podemos simplificar um pouco mais, fatorando termos comuns:
y' = 3 cdot (1 + 3x)^4 cdot (2 + 5x + x^2)^2 [ 5 cdot (2 + 5x + x^2) + (1 + 3x)(5 + 2x) ]

Passo 7

Simplificando o que está dentro dos colchetes:
5 cdot (2 + 5x + x^2) + (1 + 3x)(5 + 2x) = 10 + 25x + 5x^2 + 5 + 17x + 6x^2 = 15 + 42x + 11x^2

Resposta

Então, a derivada final é:
y' = 3 cdot (1 + 3x)^4 cdot (2 + 5x + x^2)^2 cdot (15 + 42x + 11x^2)

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