Calcule:
integral0^1 integral1+x^2 x integralz^x+z x d y d z d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla:
integral0^1 integral1+x^2x integralz^x+z x , dy , dz , dx
Esse tipo de integral está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar passo a passo, começando da integral mais interna para a mais externa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a y :
integralz^x+z x , dy
Aqui, x é tratado como uma constante em relação a y , então a integral se torna:
x cdot integralz^x+z dy = x cdot (y) |z^x+z = x cdot [(x + z) - z] = x cdot x = x^2

Passo 3

Agora, substituímos o resultado obtido na integral anterior na integral do meio, que é em relação a z :
integral1+x^2x x^2 , dz
Como x^2 também é uma constante em relação a z , a integral fica:
x^2 cdot integral1+x^2x dz = x^2 cdot (z) |1+x^2x = x^2 cdot [2x - (1 + x)] = x^2 cdot (x - 1) = x^3 - x^2

Passo 4

Por fim, substituímos o resultado na integral mais externa, que é em relação a x :
integral0^1 (x^3 - x^2) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral x^3 , dx = x^44
integral x^2 , dx = x^33
Então,
x^44 - x^33 g|0^1 = ( 14 - 13 ) - ( 0 - 0 ) = 14 - 13 = -112

Resposta

O valor da integral tripla é -112.

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