Calcule as integrais abaixo
integral x(x+1)(x+3)(x+5) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x(x+1)(x+3)(x+5),dx
O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e integração de termos da forma integral 1x+a,dx.

Passo 2

Vamos escrever
x(x+1)(x+3)(x+5) =Ax+1+Bx+3+Cx+5
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+3)(x+5), obtemos a identidade
x = A(x+3)(x+5) + B(x+1)(x+5) + C(x+1)(x+3)

Passo 3

Para determinar A, B e C usamos valores especiais de x:
- Em x=-1:
-1 = Acdot(2)cdot(4) = 8A Longrightarrow A = -18
- Em x=-3:
-3 = Bcdot(-2)cdot2 = -4B Longrightarrow B = 34
- Em x=-5:
-5 = Ccdot(-4)cdot(-2) = 8C Longrightarrow C = -58

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integral x(x+1)(x+3)(x+5),dx = integral l(-tfrac18,1x+1 +tfrac34,1x+3 -tfrac58,1x+5r)dx
Integrando termo a termo,
-tfrac18ln|x+1| +tfrac34ln|x+3| -tfrac58ln|x+5| + C

Resposta

-18lnlvert x+1rvert +34lnlvert x+3rvert -58lnlvert x+5rvert + C

Exercícios relacionados