Suponha que u "(v times w)=2. Encontre
(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) ". \mathbf{w}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá que o produto escalar entre o vetor u e o produto vetorial entre v e w é igual a 2, ou seja:
u cdot (v times w) = 2
Nosso objetivo é encontrar o valor de:
(u times v) cdot w
Pra resolver isso, vamos usar algumas propriedades de produtos vetoriais e escalares que fazem parte da matéria de Álgebra Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade bem útil chamada propriedade cíclica do produto misto. Essa propriedade diz que o produto misto de três vetores pode ser escrito de três maneiras diferentes, mudando apenas a ordem dos vetores. Ou seja:
a cdot (b times c) = b cdot (c times a) = c cdot (a times b)
Isso significa que, independentemente da ordem circular dos vetores, o resultado do produto misto permanece o mesmo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade ao que queremos encontrar. Queremos o valor de:
(u times v) cdot w
Segundo a propriedade cíclica, podemos reescrever isso como:
u cdot (v times w)
Olha só só que legal: essa expressão é exatamente a que foi dada na questão e que sabemos que vale 2.

Resposta

Portanto,
(u times v) cdot w = 2

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