Calcule as integrais abaixo
integral x^4x^3+2 x^2-x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^4x^3+2x^2-x-2,dx
Este é um caso de função racional em que o grau do numerador ( 4) é maior que o do denominador ( 3). Para resolver, vamos usar divisão de polinômios para obter um polinômio mais uma fração própria, e em seguida aplicar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^4 por x^3+2x^2-x-2:
o quociente é x-2 e o resto é 5x^2-4. Logo
x^4x^3+2x^2-x-2 = x-2 + 5x^2-4x^3+2x^2-x-2
Assim
integral x^4x^3+2x^2-x-2,dx = integral (x-2),dx + integral 5x^2-4x^3+2x^2-x-2,dx

Passo 3

Para decompor a fração própria, fatoramos o denominador:
x^3+2x^2-x-2 = (x^2-1)(x+2) = (x-1)(x+1)(x+2)
Então escrevemos
5x^2-4(x-1)(x+1)(x+2) = Ax-1 + Bx+1 + Cx+2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1)(x+2) obtemos o polinômio identidade
5x^2-4 = A(x+1)(x+2) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)(x+1)
Expandindo cada termo resulta
5x^2-4 = (A+B+C)x^2 + (3A + B)x + (2A -2B - C)
Identificando coeficientes em x^2, x e termo independente, formamos o sistema
A + B + C = 5, 3A + B = 0, 2A - 2B - C = -4

Passo 5

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem B = -3A. Substituindo na primeira e na terceira:
A -3A + C = 5 ;Rightarrow; C = 5 + 2A,
2A -2(-3A) - (5+2A) = -4 ;Rightarrow; 6A -5 = -4 ;Rightarrow; A = tfrac16
Logo B = -tfrac12 e C = tfrac163.

Passo 6

Agora integramos cada parte:
integral(x-2),dx = x^22 -2x,
integral 5x^2-4(x-1)(x+1)(x+2),dx = 16lnlvert x-1rvert - 12lnlvert x+1rvert + 163lnlvert x+2rvert
Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa.

Resposta

integral x^4x^3+2x^2-x-2,dx = x^22 - 2x + 16lnlvert x-1rvert - 12lnlvert x+1rvert + 163lnlvert x+2rvert + C

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