Calcule
integral x^3raizx^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^3raizx^2+1,dx
Isto é uma integral de função racional em x envolvendo uma raiz quadrada de x^2+1. Vamos usar o método de substituição para simplificar o radical.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2+1,
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du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Note que x^3,dx = x^2,(x,dx) e x^2=u-1.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral x^3raizx^2+1,dx = integral x^2,(x,dx)raizu = integral (u-1)raizu;du2 = 12 integral (u-1),u^-tfrac12,du
Agora expandimos o integrando:
(u-1),u^-tfrac12 = u^tfrac12 - u^-tfrac12

Passo 4

Integramos termo a termo:
12 integral l(u^tfrac12 - u^-tfrac12r),du = 12l[integral u^tfrac12du ;-;integral u^-tfrac12dur]
Sabemos que
integral u^tfrac12du = 23,u^tfrac32, integral u^-tfrac12du = 2,u^tfrac12
Portanto
12l[23u^tfrac32-2u^tfrac12r] = 13,u^tfrac32 - u^tfrac12 + C

Passo 5

Voltando à variável x com u=x^2+1, obtemos
integral x^3raizx^2+1,dx = 13(x^2+1)^tfrac32 ;-;(x^2+1)^tfrac12 + C

Resposta

boxedintegral x^3raizx^2+1,dx = 13(x^2+1)^tfrac32 ;-;(x^2+1)^tfrac12 + C

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