Determine o campo vetorial gradiente de f
f(x, y, z)=raizx^2+y^2+2^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o campo vetor gradiente de
f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2
O conteúdo envolvido é o operador gradiente e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando que o gradiente de uma função escalar f é definido por
nabla f(x,y,z) =l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr),
precisamos então calcular cada derivada parcial de f.

Passo 3

Como
f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^tfrac12,
pela regra da cadeia temos
partial fpartial x =12,(x^2+y^2+z^2)^-tfrac12cdot 2x =xraizx^2+y^2+z^2,
e, por simetria,
partial fpartial y =yraizx^2+y^2+z^2, partial fpartial z =zraizx^2+y^2+z^2

Passo 4

Juntando as três componentes, o gradiente fica
nabla f(x,y,z) =l(xraizx^2+y^2+z^2,, yraizx^2+y^2+z^2,, zraizx^2+y^2+z^2r)

Resposta

nabla f(x,y,z) =gl(xraizx^2+y^2+z^2,, yraizx^2+y^2+z^2,, zraizx^2+y^2+z^2gr)

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