Esboce os campos vetoriais a seguir.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar um campo vetorial, especificamente o campo
. Isso envolve entender o que é um campo vetorial e como representá-lo graficamente. Vamos precisar saber como identificar a direção e o tamanho dos vetores no campo para desenhar esse esboço corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial. Imagine que em cada ponto de um espaço (no nosso caso, no plano
), tem um vetor associado que indica direção e intensidade. Esses vetores podem representar forças, velocidades, entre outras coisas, dependendo do contexto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o campo vetorial dado:
. Aqui,
é o vetor unitário na direção do eixo z. O que isso quer dizer? Que em cada ponto
, o vetor
aponta na direção de
vezes
. Ou seja, a direção do vetor depende do valor de
:
- Se
for positivo, o vetor aponta para baixo (pois está sendo multiplicado por ). - Se
for negativo, o vetor aponta para cima.
Passo 4
Quanto à magnitude do vetor, ela é igual ao valor absoluto de
. Portanto:
- Quanto maior o
, maior será o comprimento do vetor. - Se
, o vetor tem magnitude zero, ou seja, não aparece.
Passo 5
Para esboçar o campo vetorial:
- Desenhe o plano
. Embora estejamos fixando , como estamos esboçando, podemos representar isso em um plano 2D (x e y). - Escolha alguns pontos no plano. Por exemplo,
, , , etc. - Em cada ponto, desenhe um vetor na direção vertical:
- Para
, o vetor aponta para baixo. - Para
, o vetor aponta para cima.
- Para
- Ajuste o comprimento do vetor de acordo com o valor de
.
Resposta
O esboço do campo vetorial
consiste em vetores verticais no plano
. Para cada ponto
:
- Se
for positivo, o vetor aponta para baixo com comprimento proporcional a . - Se
for negativo, o vetor aponta para cima com comprimento proporcional a . - No ponto onde
, não há vetor.
Assim, o campo mostra uma linha de vetores que variam de acordo com o valor de
, todos alinhados na direção vertical.