Calcule
integral0^2|cos (pi x)| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^2 l|cos(pi x)r|,dx
O conteúdo principal aqui é a integração de uma função em valor absoluto. Para resolver, precisamos identificar onde cos(pi x) muda de sinal no intervalo [0,2] e depois dividir a integral nesses subintervalos.

Passo 2

Encontramos as raízes de cos(pi x)=0 pela condição
pi x = pi2 + kpi Longrightarrow x = 12 + k,
onde k é inteiro. No intervalo [0,2] isso dá
x = 12 e x = 32
Verificando o sinal de cos(pi x):
  • Em 0 < x < tfrac12, cos(pi x)>0.
  • Em tfrac12 < x < tfrac32, cos(pi x)<0.
  • Em tfrac32 < x < 2, cos(pi x)>0.

Passo 3

Dividindo a integral conforme o sinal de cos(pi x), temos
integral0^2 l|cos(pi x)r|,dx = integral0^12 cos(pi x),dx - integral12^32 cos(pi x),dx + integral32^2 cos(pi x),dx

Passo 4

A primitiva de cos(pi x) é
integral cos(pi x),dx = 1pi,sin(pi x)
Avaliamo-a em cada intervalo:
integral0^12 cos(pi x),dx = 1pil[sin(pi x)r]0^12 = 1pil(1 - 0r) = 1pi,
integral12^32 cos(pi x),dx = 1pil[sin(pi x)r]12^32 = 1pil(-1 - 1r) = -2pi,
integral32^2 cos(pi x),dx = 1pil[sin(pi x)r]32^2 = 1pil(0 - (-1)r) = 1pi

Passo 5

Substituindo esses resultados na soma do Passo 3:
integral0^2 l|cos(pi x)r|,dx = 1pi - l(-tfrac2pir) + 1pi = 1 + 2 + 1pi = 4pi

Resposta

4pi

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