Determine o campo vetorial gradiente de f
f(x, 5,2)=x cos (d5).

Passo 1

O enunciado pede o campo gradiente de uma função de três variáveis que foi dada na forma
f(x,y,z)=xcos!l(d5r),
onde d é a distância do ponto (x,y,z) à origem. Para resolver vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Definimos
d=raizx^2+y^2+z^2
Logo
f(x,y,z)=xcos!l(tfracd5r)
Para obter o gradiente nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y,partial f/partial z) vamos calcular cada derivada parcial usando
  1. a regra do produto para xcdotcos(d/5), e
  2. a regra da cadeia para cos(d/5) com d=d(x,y,z).

Passo 3

Cálculo de partial f/partial x:
pela regra do produto,
partial fpartial x =underbracepartialpartial x(x)=1cos!l(tfracd5r) +xcdotunderbracepartialpartial xl[cos!l(tfracd5r)r] -sin!l(tfracd5r),15,partial dpartial x
Como
partial dpartial x =partialpartial xraizx^2+y^2+z^2 =xraizx^2+y^2+z^2 =xd,
segue
partial fpartial x =cos!l(tfracd5r) - xsin!l(tfracd5r),15,xd =cos!l(tfracd5r) -x^25d,sin!l(tfracd5r)

Passo 4

Cálculo de partial f/partial y e partial f/partial z:
não há termo y nem z em x, só aparecem dentro de cos(d/5). Logo, pela regra da cadeia e usando partial d/partial y=y/d e partial d/partial z=z/d, temos
partial fpartial y =xcdotl[-sin!l(tfracd5r)r]15yd =-xy5d,sin!l(tfracd5r),
partial fpartial z =xcdotl[-sin!l(tfracd5r)r]15zd =-xz5d,sin!l(tfracd5r)

Resposta

nabla f(x,y,z) =l(, cos!l(tfracd5r) -x^25d,sin!l(tfracd5r), ; -xy5d,sin!l(tfracd5r), ; -xz5d,sin!l(tfracd5r) r),
onde d=raizx^2+y^2+z^2.

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