O enunciado pede o campo gradiente de uma função de três variáveis que foi dada na forma
onde é a distância do ponto à origem. Para resolver vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Definimos
Logo
Para obter o gradiente vamos calcular cada derivada parcial usando
a regra do produto para , e
a regra da cadeia para com .
Passo 3
Cálculo de :
pela regra do produto,
Como
partial dpartial x =partialpartial xraizx^2+y^2+z^2 =xraizx^2+y^2+z^2 =xd,
segue
partial fpartial x =cos!l(tfracd5r) - xsin!l(tfracd5r),15,xd =cos!l(tfracd5r) -x^25d,sin!l(tfracd5r)
Passo 4
Cálculo de partial f/partial y e partial f/partial z:
não há termo y nem z em x, só aparecem dentro de cos(d/5). Logo, pela regra da cadeia e usando partial d/partial y=y/d e partial d/partial z=z/d, temos
partial fpartial y =xcdotl[-sin!l(tfracd5r)r]15yd =-xy5d,sin!l(tfracd5r),
partial fpartial z =xcdotl[-sin!l(tfracd5r)r]15zd =-xz5d,sin!l(tfracd5r)