Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite:
Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo limites que resultam em indeterminações como
. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para eliminar as raízes dos numeradores e denominadores.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
No numerador:
No denominador:
Isso nos dá uma indeterminação do tipo
. Então, precisamos manipular a expressão para resolver isso.
Passo 3
Vamos começar multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado de cada parte. O conjugado de uma expressão
é
. Isso ajuda a eliminar as raízes através da identidade
.
Multiplicando o numerador pelo seu conjugado:
Multiplicando o denominador pelo seu conjugado:
Passo 4
Agora, nossa expressão fica:
Simplificando
e
:
Então, substituindo:
Podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 5
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo
:
Primeiro, vamos calcular as raízes:
Agora, substituindo na expressão simplificada:
Resposta
O limite vale
.