Calcule:
ll lim x 2 raiz3 x-2-2raiz4 x+1-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite:
lim x 2 raiz3 x-2-2raiz4 x+1-3
Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo limites que resultam em indeterminações como 00. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para eliminar as raízes dos numeradores e denominadores.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 2 diretamente na expressão:
No numerador:
raiz3(2) - 2 - 2 = raiz6 - 2 - 2 = raiz4 - 2 = 2 - 2 = 0
No denominador:
raiz4(2) + 1 - 3 = raiz8 + 1 - 3 = raiz9 - 3 = 3 - 3 = 0
Isso nos dá uma indeterminação do tipo 00. Então, precisamos manipular a expressão para resolver isso.

Passo 3

Vamos começar multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado de cada parte. O conjugado de uma expressão raiza - b é raiza + b. Isso ajuda a eliminar as raízes através da identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2.
Multiplicando o numerador pelo seu conjugado:
(raiz3x - 2 - 2)(raiz3x - 2 + 2) = (raiz3x - 2)^2 - 2^2 = 3x - 2 - 4 = 3x - 6
Multiplicando o denominador pelo seu conjugado:
(raiz4x + 1 - 3)(raiz4x + 1 + 3) = (raiz4x + 1)^2 - 3^2 = 4x + 1 - 9 = 4x - 8

Passo 4

Agora, nossa expressão fica:
3x - 64x - 8 times raiz4x + 1 + 3raiz3x - 2 + 2
Simplificando 3x - 6 e 4x - 8:
3x - 6 = 3(x - 2)
4x - 8 = 4(x - 2)
Então, substituindo:
3(x - 2)4(x - 2) times raiz4x + 1 + 3raiz3x - 2 + 2
Podemos cancelar (x - 2) no numerador e denominador:
34 times raiz4x + 1 + 3raiz3x - 2 + 2

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x = 2:
Primeiro, vamos calcular as raízes:
raiz4(2) + 1 + 3 = raiz8 + 1 + 3 = raiz9 + 3 = 3 + 3 = 6
raiz3(2) - 2 + 2 = raiz6 - 2 + 2 = raiz4 + 2 = 2 + 2 = 4
Agora, substituindo na expressão simplificada:
34 times 64 = 34 times 32 = 98

Resposta

O limite vale 98.

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