Calcule os seguintes limites.
lim x 3 arccos (2-raizx+13-raiz3 x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto3arccos!gl(2-raizx+13-raiz3xgr)
Como arccos é contínua em [-1,1], basta calcular
L = limxto32-raizx+13-raiz3x
e depois fazer arccos(L).

Passo 2

Verificamos o tipo do limite direto: ao substituir x=3 vem
2-raiz3+1=2-2=0, 3-raiz3cdot3=3-3=0,
ou seja, temos 0/0. Precisamos então de manipulação algébrica para remover essa indeterminação.

Passo 3

Começamos multiplicando numerador e denominador pela conjugada do numerador, 2+raizx+1:
2-raizx+13-raiz3x =(2-raizx+1)(2+raizx+1)(3-raiz3x)(2+raizx+1) =4-(x+1)(3-raiz3x)(2+raizx+1) =3-x(3-raiz3x)(2+raizx+1)

Passo 4

Note que 3-x=-(x-3). Para eliminar a raiz no fator 3-raiz3x, multiplicamos cima e baixo por 3+raiz3x:
3-x(3-raiz3x)(2+raizx+1) =-(x-3)(3+raiz3x)(9-3x)(2+raizx+1) =-(x-3)(3+raiz3x)-3(x-3)(2+raizx+1) =13,3+raiz3x2+raizx+1

Passo 5

Agora podemos calcular o limite interno:
limxto313,3+raiz3x2+raizx+1 =13,3+32+2 =13,64 =12

Passo 6

Finalmente, aplicamos arccos:
limxto3arccos!l(f(x)r) =arccos!l(tfrac12r) =pi3

Resposta

pi3

Exercícios relacionados