Calcule os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria que estamos trabalhando aqui é Cálculo, mais especificamente, limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar as expansões da série de Taylor para as funções seno próximas de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para valores de
bem pequenos, podemos aproximar o seno de um ângulo usando a seguinte fórmula:
onde
é uma constante. Isso nos ajuda a simplificar a expressão quando
tende a zero.
Passo 3
Aplicando essa aproximação nas funções
e
:
Passo 4
Substituindo essas aproximações na expressão original do limite:
Passo 5
Agora, vamos dividir numerador e denominador por
, já que
perto de zero:
Quando
tende a zero, os termos com
vão a zero, então a expressão simplifica para:
Resposta
O limite é
.