Calcule os seguintes limites.
lim x 0 x-sen 2 x2 x+sen 3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx 0 x - sin 2x2x + sin 3x. A matéria que estamos trabalhando aqui é Cálculo, mais especificamente, limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar as expansões da série de Taylor para as funções seno próximas de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para valores de x bem pequenos, podemos aproximar o seno de um ângulo usando a seguinte fórmula:
sin(ax) approx ax - (ax)^36
onde a é uma constante. Isso nos ajuda a simplificar a expressão quando x tende a zero.

Passo 3

Aplicando essa aproximação nas funções sin 2x e sin 3x:
sin 2x approx 2x - (2x)^36 = 2x - 8x^36 = 2x - 4x^33
sin 3x approx 3x - (3x)^36 = 3x - 27x^36 = 3x - 9x^32

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original do limite:
x - (2x - 4x^33)2x + (3x - 9x^32) = x - 2x + 4x^332x + 3x - 9x^32 = -x + 4x^335x - 9x^32

Passo 5

Agora, vamos dividir numerador e denominador por x, já que x neq 0 perto de zero:
-1 + 4x^235 - 9x^22
Quando x tende a zero, os termos com x^2 vão a zero, então a expressão simplifica para:
-1 + 05 - 0 = -15

Resposta

O limite é -15.

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