Calcule os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função trigonométrica quando
se aproxima de zero pela direita. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades de limites e entender como as funções exponencial e seno se comportam perto de certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte interna da função seno:
. Nosso objetivo é entender o que acontece com essa expressão conforme
se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos analisar o exponencial
. Sabemos que, quando
se aproxima de zero,
também se aproxima de zero. Então,
tende a zero.
Passo 4
Como
tende a zero, o exponencial
tende a
, que é igual a 1. Isso porque qualquer número elevado a zero é 1.
Passo 5
Agora que sabemos que
tende a 1, podemos substituir esse valor na expressão original dentro do seno:
Passo 6
Então, o que precisamos calcular agora é:
Sabemos que o seno de
é um valor conhecido na trigonometria.
Passo 7
Calculando
, sabemos que:
Isso porque
está localizado no terceiro quadrante do círculo trigonométrico, onde o seno é negativo.
Resposta
Portanto, o limite é igual a -1.