Calcule os seguintes limites.
lim x 0^+ sen(3 pi2 e^2 raizx)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função trigonométrica quando x se aproxima de zero pela direita. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades de limites e entender como as funções exponencial e seno se comportam perto de certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte interna da função seno: 3pi2 e^2 raizx . Nosso objetivo é entender o que acontece com essa expressão conforme x se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos analisar o exponencial e^2 raizx . Sabemos que, quando x se aproxima de zero, raizx também se aproxima de zero. Então, 2 raizx tende a zero.

Passo 4

Como 2 raizx tende a zero, o exponencial e^2 raizx tende a e^0 , que é igual a 1. Isso porque qualquer número elevado a zero é 1.
limx to 0^+ e^2 raizx = e^0 = 1

Passo 5

Agora que sabemos que e^2 raizx tende a 1, podemos substituir esse valor na expressão original dentro do seno:
3pi2 e^2 raizx approx 3pi2 times 1 = 3pi2

Passo 6

Então, o que precisamos calcular agora é:
limx to 0^+ sin(3pi2)
Sabemos que o seno de 3pi2 é um valor conhecido na trigonometria.

Passo 7

Calculando sin(3pi2) , sabemos que:
sin(3pi2) = -1
Isso porque 3pi2 está localizado no terceiro quadrante do círculo trigonométrico, onde o seno é negativo.

Resposta

Portanto, o limite é igual a -1.

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