Calcule
integral x e^x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x e^x^2+1 , dx. Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por outra variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
u = x^2 + 1
Essa escolha é estratégica porque a derivada de u em relação a x nos dará algo que aparece na integral original.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 2x
Isso significa que:
du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Perceba que x , dx está presente na integral original, o que é perfeito para nossa substituição.

Passo 4

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x e^x^2+1 , dx = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du
Essa nova integral é mais simples e fácil de resolver.

Passo 5

Integrando e^u em relação a u:
12 integral e^u , du = 12 e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
12 e^u + C = 12 e^x^2+1 + C

Resposta

integral x e^x^2+1 , dx = 12 e^x^2+1 + C

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