Calcule as integrais.
integral-1^0 x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de integral-1^0 x(x^2+1)^2 , dx . O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais racionais que podem precisar de substituição para serem resolvidas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar expressões complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral usando uma substituição. Observamos que o denominador é (x^2 + 1)^2 e o numerador é x . Vamos escolher u = x^2 + 1 . Isso é útil porque a derivada de u em relação a x será du/dx = 2x , que está presente no numerador, exceto pelo fator 2.

Passo 3

Calculando a derivada de u :
du = 2x , dx
Agora, podemos resolver para x , dx :
x , dx = du2
Substituindo isso na integral original, temos:
integral x(x^2+1)^2 , dx = integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2 , du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^-2 em relação a u :
integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C
Multiplicando pela constante que havíamos tirado antes:
12 ( -1u ) + C = -12u + C

Passo 5

Substituindo u = x^2 + 1 de volta na expressão:
-12(x^2 + 1) + C
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de -1 a 0.

Passo 6

Aplicando os limites:
[ -12(x^2 + 1) ]-1^0 = -12(0^2 + 1) - ( -12((-1)^2 + 1) )
Simplificando cada parte:
-12(1) - ( -12(1 + 1) ) = -12 + 14 = -14

Resposta

O valor da integral é -14.

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