Calcule as integrais.
integral-2^5 x^2(x^3+5)^2 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral integral-2^5 x^2(x^3+5)^2 dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função polinomial. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição (também conhecida como mudança de variável) e regra do poder para integrais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a integração. Temos:
x^2(x^3+5)^2
Vamos expandir (x^3+5)^2:
(x^3+5)^2 = x^6 + 10x^3 + 25
Então, a integral fica:
integral-2^5 x^2(x^6 + 10x^3 + 25) dx

Passo 3

Agora, vamos distribuir x^2 dentro dos parênteses:
x^2 cdot x^6 = x^8
x^2 cdot 10x^3 = 10x^5
x^2 cdot 25 = 25x^2
Portanto, a integral simplificada é:
integral-2^5 (x^8 + 10x^5 + 25x^2) dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra do poder, que diz que:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
Vamos aplicar isso a cada termo:
  1. integral x^8 dx = x^99
  2. integral 10x^5 dx = 10 cdot x^66 = 10x^66 = 5x^63
  3. integral 25x^2 dx = 25 cdot x^33 = 25x^33

Passo 5

Agora, vamos somar as integrais dos três termos:
x^99 + 5x^63 + 25x^33 + C
Como estamos calculando uma integral definida de -2 a 5, vamos ignorar a constante C e avaliar a expressão nos limites de integração:
[ x^99 + 5x^63 + 25x^33 ]-2^5

Passo 6

Vamos calcular primeiro em x = 5:
5^99 + 5 cdot 5^63 + 25 cdot 5^33
Calculando cada termo:
  • 5^9 = 1953125
  • 5^6 = 15625
  • 5^3 = 125
Então:
19531259 + 5 cdot 156253 + 25 cdot 1253 = 19531259 + 781253 + 31253
Vamos unificar os denominadores:
19531259 + 78125 + 31253 = 19531259 + 812503
Convertendo 812503 para denominador 9:
81250 cdot 33 cdot 3 = 2437509
Somando:
1953125 + 2437509 = 21968759
Agora, calculando em x = -2:
(-2)^99 + 5 cdot (-2)^63 + 25 cdot (-2)^33
Calculando cada termo:
  • (-2)^9 = -512
  • (-2)^6 = 64
  • (-2)^3 = -8
Então:
-5129 + 5 cdot 643 + 25 cdot (-8)3 = -5129 + 3203 + -2003
Somando os termos com denominador 3:
-5129 + 320 - 2003 = -5129 + 1203 = -5129 + 40
Convertendo 40 para denominador 9:
40 = 3609
Então:
-512 + 3609 = -1529

Passo 7

Agora, subtraímos o valor em x = -2 do valor em x = 5:
21968759 - ( -1529 ) = 2196875 + 1529 = 21970279
Simplificando a fração:
21970279 = 244114,111ldots

Resposta

A integral integral-2^5 x^2(x^3+5)^2 dx é igual a 21970279, ou aproximadamente 244114,11.

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