Calcule as integrais.
integral1^3 1+4 xraiz1+x+2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral1^3 1+4xraiz1+x+2x^2 , dx. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente sobre integrais que envolvem substituição. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador. Note que o numerador é 1 + 4x e o que está dentro da raiz no denominador é 1 + x + 2x^2. Observamos que a derivada de 1 + x + 2x^2 em relação a x é exatamente 1 + 4x, que é o que temos no numerador.

Passo 3

Isso é um sinal verde para fazer uma substituição! Vamos definir u = 1 + x + 2x^2. Com essa substituição, a integral vai ficar mais simples de resolver.

Passo 4

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = 1 + 4x Rightarrow du = (1 + 4x) , dx
Isso significa que (1 + 4x) , dx = du. Substituindo na integral original, temos:
integral duraizu

Passo 5

A integral integral duraizu é bem mais fácil de resolver. Sabemos que:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C
Então, após integrar, temos:
2raizu + C
Agora, vamos voltar para a variável original substituindo u = 1 + x + 2x^2:
2raiz1 + x + 2x^2 + C

Passo 6

Por fim, vamos aplicar os limites de integração de 1 a 3:
2raiz1 + 3 + 2(3)^2 - 2raiz1 + 1 + 2(1)^2 = 2raiz1 + 3 + 18 - 2raiz1 + 1 + 2 = 2raiz22 - 2raiz4 = 2raiz22 - 4

Resposta

A integral vale 2raiz22 - 4.

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