Calcule as integrais.
integral1^3 xx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral1^3 xx^2+1 dx. Esse exercício pertence ao estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais que podem ser resolvidas usando substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando: xx^2+1. Aqui, o numerador é x e o denominador é x^2 + 1. Notamos que a derivada do denominador x^2 + 1 é 2x, que está relacionado ao numerador.

Passo 3

Vamos usar o método de substituição. Escolhemos u = x^2 + 1. Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x:
du = 2x , dx
Isso significa que:
x , dx = du2

Passo 4

Agora, vamos substituir na integral original:
integral xx^2+1 dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u du

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural:
12 integral 1u du = 12 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u = x^2 + 1:
12 ln|x^2 + 1| + C

Passo 7

Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 3, precisamos avaliar os limites. Assim, a antiderivada multiplicada por 12 será:
12 ln(x^2 + 1) |1^3 = 12 [ ln(3^2 + 1) - ln(1^2 + 1) ]

Passo 8

Calculando os valores:
= 12 [ ln(10) - ln(2) ]
= 12 ln(102)
= 12 ln(5)

Resposta

O valor da integral é 12 ln(5).

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