Calcule
(2+2 sen x)(1-sen x)(1+cos x)(2-2 cos x) se cotg x=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
(2+2sin x)(1-sin x)(1+cos x)(2-2cos x)
sabendo que cot x=2.
O conteúdo principal aqui é usar a definição de cot x para encontrar sin x e cos x e então substituir na expressão.

Passo 2

Da definição cot x=cos xsin x=2, tomamos um triângulo retângulo em que o cateto adjacente vale 2 e o oposto vale 1. A hipotenusa vale
raiz2^2+1^2=raiz5
Logo,
sin x = 1raiz5, cos x = 2raiz5

Passo 3

Substituindo em (2+2sin x)(1-sin x) temos
2+2sin x = 2+2cdot1raiz5 e 1-sin x = 1-1raiz5
Portanto o numerador é
(2+2cdottfrac1raiz5),(1-tfrac1raiz5) =2l(1+tfrac1raiz5r)l(1-tfrac1raiz5r) =2l(1-tfrac15r) =2cdottfrac45 =tfrac85

Passo 4

Substituindo em (1+cos x)(2-2cos x) temos
1+cos x = 1+tfrac2raiz5 e 2-2cos x = 2-2cdottfrac2raiz5 =2l(1-tfrac2raiz5r)
Logo o denominador é
(1+tfrac2raiz5);2l(1-tfrac2raiz5r) =2l(1-tfrac45r) =2cdottfrac15 =tfrac25

Passo 5

A expressão original fica
tfrac85tfrac25 =85cdot52 =4

Resposta

4

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