Demonstre a igualdade
tg alpha+2 tg 2 alpha+4 tg 4 alpha+8 tg 8 alpha+16 cotg 16 alpha=cotg alpha

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
tgalpha + 2,tg2alpha + 4,tg4alpha + 8,tg8alpha + 16,cotg16alpha = cotgalpha
O conteúdo aqui são identidades trigonométricas envolvendo a relação entre tangente e cotangente e o ângulo duplo.

Passo 2

Vamos usar a identidade básica
cotg x - tg x = cos xsin x - sin xcos x = cos^2 x - sin^2 xsin xcos x = cos 2xtfrac12sin 2x = 2,cotg 2x
Logo,
cotg x = tg x + 2,cotg 2x

Passo 3

Aplicando essa identidade em x=alpha, temos
tgalpha = cotgalpha - 2,cotg 2alpha

Passo 4

Agora em , a mesma dá
multiplicando por 2:

Passo 5

Em obtemos
multiplicando por 4:

Passo 6

Em obtemos
multiplicando por 8:

Passo 7

Somando as quatro igualdades de , , e , nota-se que os termos , e cancelam-se em cadeia, restando
Bastou então passar o para o lado esquerdo.

Resposta

tgalpha + 2,tg2alpha + 4,tg4alpha + 8,tg8alpha + 16,cotg16alpha = cotgalpha

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