Calcule integral triplaB x d x d y d z, B=(x, y, z): x^24+y^29+z^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaB x ,dx,dy,dz, onde B é o elipsoide definido por x^24+y^29+z^2<=1. Vamos usar integração em regiões simétricas e propriedades de funções ímpares.

Passo 2

A ideia central é que o elipsoide B é simétrico em relação ao plano x=0. A função integranda f(x,y,z)=x é uma função ímpar em x, ou seja, satisfaz f(-x,y,z)=-f(x,y,z). Quando integramos uma função ímpar sobre uma região simétrica em x, o resultado é zero.

Passo 3

Uma forma de ver isso por mudança de variáveis é mapear o elipsoide na esfera unidade via x=2u, y=3v, z=w. O jacobiano é constante 6, e a integral fica proporcional a integral triplau^2+v^2+w^2<=1u,du,dv,dw, mas essa última é zero por simetria. Portanto o valor da integral tripla é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados