Calcule log (z^2) e 2 log (z) para z=-i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular log (z^2) e 2 log (z) para z = -i.
Aqui, estamos trabalhando com números complexos e usando logaritmos de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir o logaritmo para números complexos e como manipular potências e multiplicações nesses logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular z^2 quando z = -i.
Sabemos que i é a unidade imaginária, onde i^2 = -1. Então:
z^2 = (-i)^2 = (-i) cdot (-i) = (-1) cdot i cdot (-1) cdot i = (-1 cdot -1) cdot (i cdot i) = 1 cdot i^2 = 1 cdot (-1) = -1
Então, z^2 = -1.

Passo 3

Agora, vamos calcular log(z^2), que já sabemos que z^2 = -1:
log(z^2) = log(-1)
Para calcular o logaritmo de um número complexo, usamos a forma polar do número. Sabemos que -1 pode ser representado no plano complexo como 1 cdot e^ipi, já que sua magnitude é 1 e o ângulo é pi radianos.
Então:
log(-1) = log(1 cdot e^ipi) = log(1) + ipi = 0 + ipi = ipi
Portanto, log(z^2) = ipi.

Passo 4

Agora, vamos calcular 2 log(z) para z = -i.
Primeiro, encontramos log(z):
log(z) = log(-i)
Representando -i no plano complexo, temos magnitude 1 e ângulo -pi2 radianos (ou 3pi2, mas usaremos -pi2 para simplificar). Assim:
log(-i) = log(1 cdot e^-ipi2) = log(1) + (-ipi2) = 0 - ipi2 = -ipi2
Agora, multiplicamos por 2:
2 log(z) = 2 cdot (-ipi2) = -ipi

Resposta

log(z^2) = ipi e 2 log(z) = -ipi para z = -i.

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