Calcule
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular
e
para
.
Aqui, estamos trabalhando com números complexos e usando logaritmos de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir o logaritmo para números complexos e como manipular potências e multiplicações nesses logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
quando
.
Sabemos que
é a unidade imaginária, onde
. Então:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que já sabemos que
:
Para calcular o logaritmo de um número complexo, usamos a forma polar do número. Sabemos que
pode ser representado no plano complexo como
, já que sua magnitude é
e o ângulo é
radianos.
Então:
Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
para
.
Primeiro, encontramos
:
Representando
no plano complexo, temos magnitude
e ângulo
radianos (ou
, mas usaremos
para simplificar). Assim:
Agora, multiplicamos por 2: