Dê o valor, caso exista, que a função deveria assumir no ponto dado para ser contínua:
f(x)=llx^2-81x-9, & x neq 9 10, & x=9 em p=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber qual valor a função deveria ter no ponto p = 9 para que ela seja contínua ali. O conteúdo que vamos usar envolve continuidade de funções e cálculo de limites. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de x = 9 e calcular o limite quando x se aproxima de 9.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função dada:
f(x) = x^2 - 81x - 9, & se x neq 9 10, & se x = 9
Queremos que f(x) seja contínua em x = 9 . Para isso, a condição é que o limite de f(x) quando x se aproxima de 9 deve ser igual ao valor da função em 9, ou seja:
limx to 9 f(x) = f(9)

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 9:
limx to 9 x^2 - 81x - 9
Perceba que o numerador x^2 - 81 pode ser fatorado:
x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9)
Então, substituindo na fração:
(x - 9)(x + 9)x - 9

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração. O termo x - 9 no numerador e no denominador se cancelam, desde que x neq 9 :
(x - 9)(x + 9)x - 9 = x + 9
Então, o limite fica:
limx to 9 (x + 9)

Passo 5

Calculemos esse limite substituindo x por 9:
x + 9 = 9 + 9 = 18
Portanto, o limite quando x se aproxima de 9 é 18.

Resposta

Para a função ser contínua em p = 9 , ela deve assumir o valor 18 nesse ponto.

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