Calcule:
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções trigonométricas. Vamos precisar entender como as funções seno e tangente se comportam quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Temos
e
. Vamos calcular os limites de cada uma delas quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 3
Vamos começar com
. Sabemos que
oscila entre -1 e 1 para qualquer
. Quando
se aproxima de
,
se aproxima de
. E
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos para a
. A tangente tem comportamento interessante perto de
. Quando
se aproxima de
,
se aproxima de
. Sabemos que
tende ao infinito positivo, já que a tangente se aproxima de
quando o ângulo se aproxima de
pela direita:
Passo 5
Agora, vamos combinar os resultados dos dois limites. Temos:
Essa expressão é uma indeterminação do tipo
. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar uma regra de limite, como a regra de L’Hôpital. Vamos reescrever multiplicando
por
como uma fração:
Mas isso ainda complica. Uma abordagem mais simples é perceber que
está indo para 0 bem mais rápido do que
está indo para o infinito, então o produto tende a zero.