Calcule:
(1,5 pt) lim x pi^+ sin (2 x) tan (x2).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse limite: limx pi^+ sin (2x) tan (x2). Aqui, estamos trabalhando com limites de funções trigonométricas. Vamos precisar entender como as funções seno e tangente se comportam quando x se aproxima de pi pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Temos sin(2x) e tan(x2). Vamos calcular os limites de cada uma delas quando x se aproxima de pi pela direita.

Passo 3

Vamos começar com sin(2x). Sabemos que sin(theta) oscila entre -1 e 1 para qualquer theta. Quando x se aproxima de pi, 2x se aproxima de 2pi. E sin(2pi) = 0. Portanto:
limx pi^+ sin(2x) = 0

Passo 4

Agora, vamos para a tan(x2). A tangente tem comportamento interessante perto de pi. Quando x se aproxima de pi^+, x2 se aproxima de pi2^+. Sabemos que tan(pi2) tende ao infinito positivo, já que a tangente se aproxima de +infty quando o ângulo se aproxima de pi2 pela direita:
limx pi^+ tan(x2) = +infty

Passo 5

Agora, vamos combinar os resultados dos dois limites. Temos:
limx pi^+ sin(2x) cdot tan(x2) = 0 cdot (+infty)
Essa expressão é uma indeterminação do tipo 0 times infty. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar uma regra de limite, como a regra de L’Hôpital. Vamos reescrever multiplicando sin(2x) por tan(x2) como uma fração:
sin(2x) cdot tan(x2) = sin(2x) cdot sin(x2)cos(x2)
Mas isso ainda complica. Uma abordagem mais simples é perceber que sin(2x) está indo para 0 bem mais rápido do que tan(x2) está indo para o infinito, então o produto tende a zero.

Resposta

limx pi^+ sin(2x) tan(x2) = 0

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