Calcule:
(1,0 pt) d yd x por derivação implícita da equação x y=x cos (y)+y cos (x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada dydx no ponto (1,0) usando derivação implícita da equação x y = x cos(y) + y cos(x). Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivação implícita, que é uma técnica usada quando as variáveis x e y estão misturadas em uma equação e não está fácil isolar uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a derivação implícita faz. Em vez de isolar y e derivar normalmente, a gente deriva ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como uma função de x. Ou seja, sempre que tivermos y, usamos a regra da cadeia e multiplicamos por dydx.
Então, vamos derivar cada termo da equação x y = x cos(y) + y cos(x) em relação a x.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo x y:
Usamos a regra do produto: ddx(x y) = y + x dydx

Passo 4

Derivando o lado direito x cos(y) + y cos(x):
Primeiro, para x cos(y), aplicamos a regra do produto:
ddx(x cos(y)) = cos(y) + x cdot (-sin(y)) cdot dydx
Para y cos(x), também usamos a regra do produto:
ddx(y cos(x)) = dydx cos(x) + y cdot (-sin(x))
Então, o lado direito derivado fica:
cos(y) - x sin(y) dydx + cos(x) dydx - y sin(x)

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
y + x dydx = cos(y) - x sin(y) dydx + cos(x) dydx - y sin(x)
Queremos isolar dydx, então vamos agrupar os termos que contêm dydx de um lado e os demais do outro lado:
x dydx + x sin(y) dydx - cos(x) dydx = cos(y) - y sin(x) - y
Fatoramos dydx:
dydx (x + x sin(y) - cos(x)) = cos(y) - y sin(x) - y

Passo 6

Resolvemos para dydx:
dydx = cos(y) - y sin(x) - yx + x sin(y) - cos(x)

Passo 7

Agora, substituímos o ponto (1,0) na expressão para dydx:
Sabemos que x = 1 e y = 0. Vamos calcular cada parte:
cos(0) = 1
sin(0) = 0
cos(1) e sin(1) permanecem como estão, mas vamos ver:
Substituindo na fórmula:
dydxg|(1,0) = 1 - 0 cdot sin(1) - 01 + 1 cdot 0 - cos(1) = 11 - cos(1)

Resposta

A derivada dydx no ponto (1,0) é 11 - cos(1).

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