Seja
. Encontre a distância mínima entre o gráfico de
, conjunto dos pontos da forma
, e a origem do
. Dica: Para todo
nós temos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a distância mínima entre o gráfico da função
e a origem no espaço tridimensional
. Isso envolve conhecimentos de geometria espacial e otimização. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância no espaço e técnicas de minimização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a distância entre dois pontos no espaço 3D. A origem é o ponto
e o gráfico da função
é o conjunto de pontos
. A distância
entre esses dois pontos pode ser calculada usando a fórmula da distância euclidiana:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a mínima distância possível
. Para isso, vamos minimizar a expressão
, já que a raiz quadrada é uma função crescente e o mínimo de
ocorre no mesmo ponto que o mínimo de
.
Passo 4
Vamos simplificar
. A função dada é:
Vamos chamar o termo dentro da raiz de
:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
Então, a distância ao quadrado
é igual a
. Portanto, para minimizar
, precisamos minimizar
, já que
.
Passo 6
Vamos minimizar
. Essa é uma função quadrática em
e
. Para encontrarmos o mínimo, vamos completar o quadrado para cada variável.
Para
:
Para
:
Substituindo de volta em
:
Passo 7
Observamos que
e
para todo
e
. Portanto, o menor valor de
ocorre quando ambos os termos quadráticos são zero, ou seja, quando
e
.
Substituindo esses valores:
Passo 8
Finalmente, lembrando que
, a distância mínima é:
Resposta
A distância mínima entre o gráfico de
e a origem é
unidades.