Seja F(x, y)=raiz(x^2+y^2+2-x-y)^2-x^2-y^2. Encontre a distância mínima entre o gráfico de F, conjunto dos pontos da forma (x, y, F(x, y)), e a origem do R^3. Dica: Para todo x, y nós temos 0 <= x^2+y^2+2-x-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a distância mínima entre o gráfico da função F(x, y) e a origem no espaço tridimensional R^3. Isso envolve conhecimentos de geometria espacial e otimização. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância no espaço e técnicas de minimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a distância entre dois pontos no espaço 3D. A origem é o ponto (0, 0, 0) e o gráfico da função F é o conjunto de pontos (x, y, F(x, y)). A distância D entre esses dois pontos pode ser calculada usando a fórmula da distância euclidiana:
D = raiz(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (F(x, y) - 0)^2 = raizx^2 + y^2 + F(x, y)^2

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a mínima distância possível Dmin . Para isso, vamos minimizar a expressão D^2 = x^2 + y^2 + F(x, y)^2 , já que a raiz quadrada é uma função crescente e o mínimo de D^2 ocorre no mesmo ponto que o mínimo de D .

Passo 4

Vamos simplificar F(x, y) . A função dada é:
F(x, y) = raiz(x^2+y^2+2 -x -y)^2 -x^2 -y^2
Vamos chamar o termo dentro da raiz de S :
S = x^2 + y^2 + 2 - x - y
Então,
F(x, y) = raizS^2 - x^2 - y^2

Passo 5

Agora, substituímos F(x, y) na expressão de D^2 :
D^2 = x^2 + y^2 + (raizS^2 - x^2 - y^2)^2 = x^2 + y^2 + S^2 - x^2 - y^2 = S^2
Então, a distância ao quadrado D^2 é igual a S^2 . Portanto, para minimizar D , precisamos minimizar S , já que S >= 0 .

Passo 6

Vamos minimizar S = x^2 + y^2 + 2 - x - y . Essa é uma função quadrática em x e y . Para encontrarmos o mínimo, vamos completar o quadrado para cada variável.
Para x :
x^2 - x = (x - 12)^2 - 14
Para y :
y^2 - y = (y - 12)^2 - 14
Substituindo de volta em S :
S = (x - 12)^2 + (y - 12)^2 + 2 - 14 - 14 = (x - 12)^2 + (y - 12)^2 + 32

Passo 7

Observamos que (x - 12)^2 >= 0 e (y - 12)^2 >= 0 para todo x e y . Portanto, o menor valor de S ocorre quando ambos os termos quadráticos são zero, ou seja, quando x = 12 e y = 12 .
Substituindo esses valores:
Smín = 0 + 0 + 32 = 32 í

Passo 8

Finalmente, lembrando que D = S , a distância mínima é:
Dmín = 32 í

Resposta

A distância mínima entre o gráfico de F e a origem é 32 unidades.

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