Uma partícula se move ao longo de uma reta no eixo x e sua posição varia com o tempo conforme a equação x(t)=6 - 8 t+2 t^2 com x em metros e t em segundos.
a) Determine o(s) instante(s) que a partícula passa pela origem.
b) Derive as expressões para a velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
c) Determine a posição, velocidade e aceleração da partícula para o instante de tempo t=4 s.
d) Existe algum instante em que a velocidade da partícula se anula? Se existe, em que instante isso ocorre?
e) Caracterize o movimento da partícula.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula em função do tempo como
x(t)=6 - 8,t + 2,t^2
com x em metros e t em segundos. O conteúdo é cinemática unidimensional com aceleração constante. Para resolver vamos:
1. Encontrar os instantes em que x(t)=0 (equação quadrática).
2. Calcular as derivadas para obter v(t) e a(t).
3. Avaliar x, v e a em t=4,s.
4. Verificar se existe instante em que v(t)=0.
5. Caracterizar o tipo de movimento.

Passo 2

Para (a) determinamos os instantes em que a partícula passa pela origem, ou seja, resolvemos
x(t)=0 Longrightarrow 6 - 8,t + 2,t^2 = 0
Dividindo por 2 fica
t^2 - 4,t + 3 = 0
que fatoriza em (t-1)(t-3)=0. Logo os instantes são
t = 1,s e t = 3,s

Passo 3

Para (b) calculamos as derivadas de x(t):
A velocidade é
v(t) = dxdt = -8 + 4,t,
e a aceleração é
a(t) = dvdt = 4(constante)

Passo 4

Para (c) avaliamos em t=4,s:
x(4) = 6 - 8cdot4 + 2cdot4^2 = 6 - 32 + 32 = 6 m,
v(4) = -8 + 4cdot4 = 8 m/s,
a(4) = 4 m/s^2

Passo 5

Para (d) verificamos se existe t tal que v(t)=0:
-8 + 4,t = 0 Longrightarrow t = 2,s

Passo 6

Para (e) como a aceleração é constante e igual a 4 m/s^2, o movimento é uniformemente acelerado em linha reta, com velocidade aumentando linearmente ao longo do tempo.

Resposta

(a) t=1,s e t=3,s.
(b) v(t)=-8+4,t, \quad a(t)=4.
(c) x(4)=6 m, \quad v(4)=8 m/s, \quad a(4)=4 m/s^2.
(d) Sim, em t=2,s.
(e) Movimento uniformemente acelerado com aceleração constante positiva ( a=4 m/s^2).

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