A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x=c t^2+ b t^3, onde x está em metros t em segundos. Quais são as unidades (a) da constante c e (b) da constante b ? Suponha que os valores numéricos de c e b sejam 5,0 e 2,0 respectivamente. (c) Em que instante a partícula passa pelo maior positivo de x ? De t=0,0 a t=4,0 s, (d) qual é a distância percorrida pela partícula e (e) qual o é o seu deslocamento? Determine a velocidade da partícula nos instantes (f) t =1,0 s, (g) t=2,0 s, (h) t=3,0 s e (i) t= 4,0 s. Determine a aceleração da partícula nos instantes (j) t=1,0 s,(k) t=2,0 s, (l) t=3,0 s e(m) t=4,0 s.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em movimento unidimensional como
x(t)=c,t^2+b,t^3,
onde x está em metros e t em segundos. Vamos usar análise dimensional para achar as unidades de c e b, derivadas para obter velocidade e aceleração, e estudar o comportamento de x(t) no intervalo 0<= t<=4,0,s para determinar máximo, distância e deslocamento.

Passo 2

Para que x tenha unidade de metro, o termo c,t^2 deve ter metro. Como t^2 tem unidade s^2,
[c]=ms^2
Analogamente, b,t^3 deve ter metro, com t^3 em s^3, logo
[b]=ms^3

Passo 3

Substituindo os valores numéricos ,c=5,0 e b=2,0, temos
x(t)=5,0,t^2+2,0,t^3
Para achar extremos, calculamos a velocidade
v(t)=dxdt=2,c,t+3,b,t^2
e igualamos a zero:
v(t)=2cdot5,0,t+3cdot2,0,t^2=10,t+6,t^2=t,(10+6,t)=0
As soluções são t=0 ou t=-tfrac106, mas esta última é negativa e fora do intervalo. Portanto, em 0<= t<=4 a posição cresce continuamente e seu maior valor ocorre em t=4,0,s.

Passo 4

A distância percorrida é igual ao módulo da variação de x em 0<= t<=4,0,s. Calculamos
x(0)=0, x(4)=5,0cdot4^2+2,0cdot4^3=5,0cdot16+2,0cdot64=80+128=208 m
Como não há inversão de sentido, distância e deslocamento coincidem e valem 208,m.

Passo 5

A velocidade é
v(t)=10,t+6,t^2
Nos instantes pedidos:
v(1)=10cdot1+6cdot1^2=16 m/s, v(2)=10cdot2+6cdot4=44 m/s,
v(3)=10cdot3+6cdot9=84 m/s, v(4)=10cdot4+6cdot16=136 m/s

Passo 6

A aceleração é
a(t)=dvdt=10+12,t
Nos instantes:
a(1)=10+12cdot1=22 m/s^2, a(2)=10+12cdot2=34 m/s^2,
a(3)=10+12cdot3=46 m/s^2, a(4)=10+12cdot4=58 m/s^2

Resposta

(a) m/s^2
(b) m/s^3
(c) t=4,0,s
(d) Distância =208,m
(e) Deslocamento =208,m
(f) v(1,0)=16,m/s
(g) v(2,0)=44,m/s
(h) v(3,0)=84,m/s
(i) v(4,0)=136,m/s
(j) a(1,0)=22,m/ s^2
(k) a(2,0)=34,m/ s^2
(l) a(3,0)=46,m/ s^2
(m) a(4,0)=58,m/ s^2

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