5-Calcule:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 da função 5x^3 - tfrac12. O conteúdo aqui é integração de polinômios, e vamos usar a regra da potência integral x^n dx = tfracx^n+1n+1, a integral de constante integral a,dx = ax e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de 5x^3 - tfrac12, aplicamos a linearidade da integral e a regra da potência:
integrall(5x^3 - tfrac12r),dx = 5integral x^3,dx - tfrac12integral 1,dx
Usando integral x^3 dx = tfracx^44 e integral 1 dx = x, obtemos:
$$
5\cdot \frac{x^4}{4} - \tfrac12 x = \frac{5}{4}x^4 - \frac12 x
$$

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando de 0 a 1 a antiderivada F(x)=tfrac54x^4 - tfrac12 x:
F(1) - F(0) = l(54cdot1^4 - 12cdot1r) - l(54cdot0^4 - 12cdot0r)
Calculando, temos F(1)=tfrac54-tfrac12=tfrac5-24=tfrac34 e F(0)=0.

Resposta

tfrac34

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