Calcule:

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar a derivada de I(x)=integral0^sin(x) dtraiz1-t^2. O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia, pois o limite superior da integral depende de x.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para I(x)=integral0^u(x)f(t),dt vale
ddxI(x)=f(u(x)),u'(x)
Aqui temos f(t)=1raiz1-t^2 e u(x)=sin(x). Então
ddxI(x)=1raiz1-(sin(x))^2cdotddx(sin(x))

Passo 3

Vamos calcular cada parte: primeiro, ddx(sin(x))=cos(x). Em segundo lugar, usando a identidade trigonométrica 1-sin^2(x)=cos^2(x), obtemos
raiz1-(sin(x))^2=|cos(x)|
Portanto,
ddxI(x)=cos(x)|cos(x)|

Passo 4

No domínio |x|, sabemos que cos(x)>0, logo |cos(x)|=cos(x). Assim
ddxI(x)=cos(x)cos(x)=1

Resposta

1

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