Calcule .

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto0tg((3+x)^2)-tg9x. O conteúdo principal é limite de função composta e uso da derivada de tg(u) em um ponto, apelando para aproximação de primeira ordem (linearização).

Passo 2

Identificamos a função composta f(x)=tg(g(x)) com g(x)=(3+x)^2. Note que g(0)=9, então a diferença no argumento da tg é De.
Expandimos g(x) em torno de x=0:
g(x)=(3+x)^2=9+6x+x^2
Logo, De.

Passo 3

Usamos a aproximação de primeira ordem para tg(u) em u0=9:
tg(9+De
Sabendo que tg'(u)=sec^2(u), temos tg'(9)=sec^2(9).
Substituindo na expressão do limite:
tg((3+x)^2)-tg(9)xapproxsec^2(9)(6x+x^2)x=sec^2(9),(6+x)

Passo 4

Tomando xto0, o termo +x some e ficamos com
6sec^2(9)

Resposta

6sec^2(9)

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