Questão 4: (1,3 pontos)
Encontre e classifique todos os pontos críticos da função f(x, y)=x^3+3 x y^2+3 y^2-15 x+2.

Passo 1

A questão pede pra achar e classificar os pontos críticos da função f(x,y)=x³+3xy²+3y²−15x+2. Isso é conteúdo de cálculo de várias variáveis: a gente vai precisar do gradiente pra achar onde ele zera (passo fundamental pra encontrar pontos críticos) e depois da matriz Hessiana pra testar se cada ponto é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Primeiro, calculemos o gradiente de f. Lembra que o gradiente é o vetor (∂f/∂x, ∂f/∂y). Vamos derivar:
∂f/∂x = 3x² + 3y² − 15
∂f/∂y = 6xy + 6y
Aqui usamos as regras de derivação: derivada de x³ é 3x², de 3xy² em relação a x é 3y², etc.

Passo 3

Agora a gente iguala o gradiente a zero pra achar os críticos:
3x² + 3y² − 15 = 0 → x² + y² = 5 (1)
6y(x+1) = 0 (2)
Da equação (2) temos duas possibilidades: y = 0 ou x = −1.
• Se y = 0, da (1) vem x² = 5, logo x = ±√5, dando os pontos (√5, 0) e (−√5, 0).
• Se x = −1, da (1) vem 1 + y² = 5, ou seja y²=4, então y = ±2, gerando os pontos (−1,2) e (−1,−2).

Passo 4

Pra classificar, vamos usar a Hessiana H, que é a matriz das segundas derivadas:
H = fxx & fxy fyx & fyy
com f_{xx}=6x, f_{xy}=6y, f_{yy}=6x+6.
Em cada ponto crítico, checamos o determinante D = f_{xx}·f_{yy} − (f_{xy})² e o sinal de f_{xx}:
• D>0 e f_{xx}>0 → mínimo local
• D>0 e f_{xx}<0 → máximo local
• D<0 → ponto de sela

Passo 5

Agora avaliamos em cada ponto:
(√5,0): f_{xx}=6√5>0, f_{yy}=6√5+6>0, D>0 → mínimo local
(−√5,0): f_{xx}=−6√5<0, f_{yy}=−6√5+6<0, D>0 → máximo local
(−1,±2): f_{xx}=−6, f_{yy}=0, f_{xy}=±12 → D=(−6)·0−(12)²<0 → sela

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(√5,0): mínimo local
(−√5,0): máximo local
(−1,2) e (−1,−2): pontos de sela

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